在处理涉及遗产继承的问题时，确保合法权利得到保护是非常重要的。当出现老人遗嘱遭到私自篡改的情况时，其他继承人可以通过以下方式来捍卫自己的合法权益：
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了解法律规定：首先，其他继承人应该熟悉与继承和遗嘱相关的法律规定。这包括对遗嘱的形式要求、有效性以及更改遗嘱的程序的了解。在中国大陆地区，《中华人民共和国民法典》中的继承编提供了关于继承的基本法律框架。
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寻求专业意见：如果怀疑老人的遗嘱被篡改或伪造，其他继承人应立即咨询律师或其他专业人士的意见。他们可以帮助分析情况并提供适当的法律建议。
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提交证据：如果有任何证据证明遗嘱已经被非法修改或有可疑之处，例如有证人看到遗嘱被篡改或者有录音录像等材料证明遗嘱的真实性受到质疑，这些都应该及时提交给相关部门进行调查。
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提起异议之诉：根据中国法律的规定，如果认为遗嘱内容不合理或不公正，或者其他继承人对遗嘱的真实性有异议，可以在法定期限内向法院提出“异议之诉”。通过这种方式，其他继承人可以请求法院重新审查遗嘱的有效性和真实性，以维护自己的权益。
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申请鉴定：如果遗嘱的内容存在疑问，如笔迹不清晰或疑似伪造，其他继承人可以向法院申请进行司法鉴定。这将有助于确定遗嘱的真实性和合法性。
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遵守法律程序：在整个过程中，其他继承人应当遵守法律规定的程序和要求，不要采取任何非法手段，以免给自己带来不必要的麻烦和损失。
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保持沟通：与其他继承人和相关当事人保持良好的沟通也是非常重要的。这样可以避免误解和不必要的冲突，同时也可以共同寻找解决问题的方法。
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尊重司法判决：无论最终结果如何，其他继承人都应该尊重法院的判决和裁决。如果对判决不服，可以通过上诉等方式继续寻求救济。
以下是一些可能的相关案例：
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在某案件中，一位老人去世后，其子女发现父亲的遗嘱被保姆私自篡改，增加了保姆作为继承人的条款。子女们对此提出了异议并向法院提起诉讼。经过一系列的法律程序，包括对证据的收集和鉴定，法院最终认定保姆的行为属于欺诈行为，遗嘱被判定无效，财产按照法定继承顺序进行了分配。
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在另一个案例中，一位老人在医院中病重期间，其亲属在没有征得老人同意的情况下，擅自更改了老人的遗嘱内容。后来，老人的子女发现了这一事实并向法院提起了诉讼。法院审理后认定，该亲属的行为违反了法律的诚实信用原则，遗嘱被认定为无效，财产按法律规定的方式进行了继承。
综上所述，面对老人遗嘱被私自篡改的情况，其他继承人应该积极行动起来，采取合法合理的措施来保护自己的合法权益。这不仅是对自己负责，也是对社会公平正义的维护。